প্রমাণ কর যে, $16 \cos \frac{2\mathrm{\pi }}{15} \cos \frac{4\pi }{15} \cos \frac{8\pi }{15} \cos \frac{14\pi }{15}=1$

গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের সূত্রগুলো এমন কোণগুলোর জন্য ব্যবহৃত হয় যা একটি কোণের দ্বিগুণ, তিনগুণ বা অর্ধাংশের মতো হয়। গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিচে ব্যাখ্যা করা হলো:

১. দ্বিগুণ কোণের সূত্র (Double Angle Formula)

যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার দ্বিগুণ \( 2\theta \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ:

সাইন

\[
\sin(2\theta) = 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta
\]

কোসাইন

\[
\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
\]

২. তিনগুণ কোণের সূত্র (Triple Angle Formula)

তিনগুণ কোণের জন্য, যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে \( 3\theta \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত নিম্নরূপ:

সাইন

\[
\sin(3\theta) = 3 \cdot \sin \theta - 4 \cdot \sin^3 \theta
\]

কোসাইন

\[
\cos(3\theta) = 4 \cdot \cos^3 \theta - 3 \cdot \cos \theta
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan(3\theta) = \frac{3 \cdot \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \cdot \tan^2 \theta}
\]

৩. অর্ধকোণের সূত্র (Half Angle Formula)

অর্ধকোণের ক্ষেত্রে, যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার অর্ধাংশ \( \frac{\theta}{2} \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত হবে:

সাইন

\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
\]

কোসাইন

\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
\]

এই গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয় এবং বিশেষ করে জটিল সমীকরণ সমাধানে খুবই সহায়ক।